初中数学一次方程、二次函数与不等式知识-鱼捕头

初中数学一次方程、二次函数与不等式知识汇总

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初中数学二次函数知识点汇总

快来看啦!最近小数老师在留言里看到好多人要关于二次函数的知识点，所以今天特意做了一些总结，边看边学，效果更好哦!

定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.

4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.

5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

初中数学一次方程与不等式知识汇总

等式与方程

1、等式：用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式。

2、方程：含有未知数的等式叫做方程。

注意：

(1)等式中必须含有等号，故不含等号的式子就不是等式;

(2)方程必须是等式，并且含有未知数，两个条件须同时具备;

(3)方程中可以含有几个未知数。

例题1、下列式子中，哪些是等式?哪些是方程?

(1)?1+7=6

(2)x+7=6

(3) x+7

(4)x+7=7?x

(5)4+7=7十4

(6)y3=1

(7)4x+y=7

方程中的项、系数、次数等概念

1、项：在方程中，被“+”、“-”，号隔开的每一部分(包括这部分前面的“十”、“-”号在内)称为一项。

2、未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母叫做未知数的系数。

3、项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数。

4、常数项：不含未知数的项，称为常数项。

列方程的方法

1、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系，就是列方程。

2、列方程可分两步进行：第一步先根据题设条件设未知数;第二步要找到未知数和已知数之间的等量关系，从而得到方程。

例题2、根据条件列方程：

(1)某数的平方与它的4倍互为相反数

(2)某数的相反数与8的差等于这个数的倒数

(3)购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，求这本书的原价

例题3、根据下列条件列出方程：

(1)a与6两数和的平方等于1

(2)a与6两数平方的和等于1

方程的解和解方程

方程的解：使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解

解方程：求方程的解的过程叫做解方程

注意：

(1)方程的解一定能使方程左右两边的值相等;

(2)方程的解和解方程是两个不同的概念，它们一个是求得的结果，一个是变形的过程，要区别开，方程的解中的“解”是名词，解方程概念中“解”是一个动词。

一元一次方程的概念

1、概念：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的方程叫一元一次方程。如：x+7=7?x

2、一元一次方程的最简形式：ax=b(a≠0)

3、一元一次方程的标准形式: ax+b=0(a≠0)

注意：理解一元一次方程的概念应把握：

(1)是一个方程;

(2)只含有一个未知数;

(3)未知数的次数是1;

(4)化简后未知数的系数不能为0;

(5)分母不能含有未知数。

等式基本性质

1：等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式。

2：等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为零的数)，所得结果仍是等式。

注意：

(1)运用等式基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上<或减去)同一个数或同一个代数式，才能保证所得结果仍是等式，这里要特别注意“同时”和“同一个”;

(2)运用等式基本性质2时，除了要注意等式两边同时乘以(或除以)同一个数，才能保证所得结果仍是等式以外，还必须注意，等式两边不能都除以O，因为0不能作除数或分母;

(3)等式还有其他的一些性质，在解方程中也时常会用到，它们是：对称性：如果a=b，那么b=a.即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式。

传递性：如果a=b，且b=c，那么a=c。这条性质也叫做等量代换。

利用等式的基本性质解一元一次方程

1、求方程的解的过程叫做解方程

2、具体步骤如下：

(1)利用等式的性质解一元一次方程，一般是先利用等式性质1，然后再利用等式性质2，将ax=?b变形为x=?ba即可。

(2)移项法则：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，这个法则称为移项法则，移项的根据是等式的基本性质1。

注意：

(1)移项时，不要忘记对移动的项变号，如从3+4x=7得到4x= 7+3，是错误的;

(2)没移项时，不要误以为有移项，如从?5=x，得到x= 5，这样的错误其原因在于对运用用等式的性质与移项的区别没有分清;

(3)去括号的方法：括号外的因数是正数，去括号后各项的符号不变，括号外的因数是负数，去括号后各项符号应变号;

(4)去分母：要去分母，我们首先要找准方程中的各分母，然后再利用等式性质2，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，即可达到去分母的目的。

初中函数有哪些

一次函数，二次函数，反比例函数，三角函数

一次函数：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也就是说x是自变量，y是因变量。表示为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数），当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx，常数k叫做比例系数。

二次函数：一般的，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数。自变量（通常为x）和因变量（通常为y）.右边是整式，且自变量的最高次数是2。

反比例函数：函数y=k/x（k为常数，x不等于0）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数值自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

三角函数：正弦函数=对边/斜边正切函数=对边/邻边余弦函数=邻边/斜边

初中数学差怎么补救

1.课前预习。课前先看看书，看你能够理解多少，尤其是有些涉及到前面的知识，如果不懂就可以叫老师协助。

2.课中认真。认真有两个层面：

（1）认真聆听老师的讲解，弄清楚前面预习时不懂之处；

（2）利用课堂练习检验自己是否弄明白了，尤其要关注做得不对的地方，把它圈起来，弄明白为什么错。

3.课后巩固。

（1）说课讲课，说说今天学习的内容并进行梳理；再次回顾做错的地方；

（2）着眼基础进行练习，适当多点以达到巩固的目的。

（3）着眼提高适当进行少量的较难的练习，促进自己的灵活运用能力。